【解説】『一次関数』直線の性質

一次関数の直線の性質

〜平行・交点・2点から式を作るということ〜

一次関数のグラフに少し慣れてくると、次に出てくるのが「直線の性質」です。平行な直線、交わる直線、2点が与えられたときの直線の式。ここで家庭教師をしていると、

計算はできるけれど、何をやっているのか分からない

という生徒が一気に増えます。それもそのはずで、この分野は考え方の理解がないと成立しないからです。この記事で考え方を身に着けていきましょう！

平行な直線について、生徒はよくこう言います。

傾きが同じなら平行ですよね

もちろん正しいです。でも問題は、その先です。家庭教師として一番よく感じるのは、

なぜ傾きが同じだと平行なのかを考えていない

という点です。

傾きとは「xが1増えたときにyがどれだけ増えるか」でした。つまり、傾きが同じということは、

ということです。同じ方向・同じ角度で進んでいれば、どれだけ延ばしても交わりません。これが平行です。このイメージがないまま「aが同じだから平行」と覚えてしまうと、応用問題で必ず止まります。

逆に、交わる直線についても同じです。

傾きが違う→ 増え方が違う→ どこかで追いついたり追い越したりする→ 交点が生まれる

家庭教師の現場では、交点は計算で出すものと思っている生徒が多いですが、本質はそこではありません。

交点とは、2つの変化が同じ瞬間です。

だから連立方程式ともつながります。「同時に成り立つ」という考え方は、すでにこの段階で始まっています。

この分野で一気につまずく生徒も多いです。家庭教師をしていると、こんな声をよく聞きます。

公式がよく分からない
何から始めればいいか分からない
問題の利かれ方が少し変わると答えが出せなくなる

でも、ここで大切なのは公式を探すことではありません。考える順番はとてもシンプルです。

傾きは「変化量」でした。2点があるということは、xがどれだけ変わり、yがどれだけ変わったかが分かります。それを比べるだけです。

この分野で、家庭教師として必ず生徒に確認することがあります。

今、自分は何を求めている？
何が分かっていて、何が分かっていない？

多くの生徒は、

でもそれは「考える前に手を動かす」状態です。直線の性質は、頭の中で状況を整理しないと絶対に整理できません。

一次関数の式　y = ax + b　は、単なる形ではありません。

2点が与えられたときも、平行な直線を考えるときも、交点を考えるときも、すべて「関係」を見ています。家庭教師をしていて強く感じるのは、ここを理解した生徒は数学の見方が変わるということです。

一次関数の直線の性質は、中学2年生の一次関数の中でも山場です。
ここを「なんとなく」で通り過ぎると、この先の数学がずっと重くなります。
でも逆に、ここでしっかり考える経験をした生徒は、

数学は計算の教科ではありません。数学は、関係を考える教科です。
直線を通して、ぜひ「考える数学」に触れてほしいと思います。