【解説】『比例』と『反比例』の関係性について

比例と反比例は、名前だけを見ると「真逆のもの」に見えるかもしれません。
実際、家庭教師をしていると、

比例は分かるけど反比例は別物
反比例になると頭が切り替わらない

という声をよく聞きます。

ですが本当は、比例と反比例は対立する存在ではありません。どちらも「2つの量の関係」を見ているだけで、見ているポイントが違うだけなのです。

比例は「増え方」に注目する単元

比例では、xが1増えると、yはいくつ増えるかという見方をしてきました。

y＝axという式は、xが1増えるたびに、yはaずつ増えるという意味でした。
ここで大切だったのは、「傾き」という考え方でしたね。

一方、反比例では見ている場所が変わります。
反比例で大切なのは、xとyを掛けたら、いつも同じになるという一点です。

y＝a／xという式も、x×y＝aと考えれば、比例と同じくらいシンプルです。

反比例が難しく感じる一番の理由は、

比例の考え方をそのまま使おう

と考えてしまうからです。比例では、

という関係でした。

反比例では、

という関係になります。でもこれは、「逆だから」ではありません。同じ量を保つために調整していると考えてください。

比例も反比例も、実は共通している点があります。
それは、

2つの量が、でたらめに変わっていないということです。どう変わっていくのかを意識して式やグラフを見るようにしましょう。

比例では、増え方が決まっている

反比例では、

掛け算の結果が決まっている

どちらも、ルールのある変化なのです。それぞれのルールを本質から理解するようにしましょう。

家庭教師として見ていると、比例と反比例で差がつくのはここです。

比例を意味で理解できている生徒は、反比例でも必ず立て直せます。

逆に、

y＝axだから
y＝a／xだから

という暗記だけで進んできた人ほど、反比例で手が止まります。

比例のグラフは一直線でした。これは、増え方がずっと同じという性格を表しています。どれだけ数字が大きくなっても、増え方は同じです。
反比例の曲線は、近づくけど交わらないという形になります。これは、0になれないでも関係は続いているという反比例の特徴そのものです。

実は、数学が得意な人ほど、

今、比例の考え方が必要か
反比例の考え方が必要か

を自然に切り替えています。その切り替えの基準はとても単純です。

これだけです。

比例と反比例は、公式を覚える単元ではありません。ものごとの関係をどう見るかを練習する単元です。

この視点を持てた人は、これから先の数学で必ず伸びます。
数学は暗記だけではいけない。
比例と反比例は、そのことを教えてくれる最高の教材です。