【解説】『一次関数』平行直線と交わる直線

平行な直線と交わる直線を本当に理解する

〜式とグラフをつなげて考える力を育てる〜

一次関数の中で「平行な直線」「交わる直線」は、実はとても大事な分野です。なぜならここは、暗記で進むか、思考で進むかの分かれ道になりやすいからです。家庭教師をしていると、この分野で次のような声をよく聞きます。

傾きが同じなら平行ですよね
傾きが違えば交わるんですよね

言葉としては合っています。でも、その先の問題で手が止まる生徒がとても多い。
これは「知っている」と「分かっている」がまだつながっていない状態です。

まず、式の視点から考えてみましょう。
一次関数はy = ax + bという形で表されます。ここで多くの生徒は、

という言葉を覚えます。でも、家庭教師として強く伝えたいのは、名前を覚えることがゴールではないということです。たとえば、

y = 2x + 1
y = 2x − 3

この2つの式。

確かに傾きは同じです。でも本当に大事なのは、この2本は「どんな関係」で動いているのかという視点です。

xが1増えると、どちらもyは2増える。増え方は完全に同じ。でもスタート地点が違う。
だから、どれだけ進んでも差は縮まらない。これが「平行」の正体です。
ただ「傾きが同じだから平行」ではなく、差が一生埋まらない関係として捉えられるかどうか。
ここを理解できると、式を見る目が変わってきます。

次にグラフの話です。グラフを描けば、平行かどうかは一目で分かります。だからこそ、油断が生まれやすい。家庭教師の現場では、

グラフなら分かるけど、式だけだと自信がない

という生徒を本当によく見ます。これは、目で見て判断しているだけになっているサインです。
グラフは「結果」を見ているだけ。本当は、

を、式に戻って説明できてほしい。グラフと式は、どちらか一方ではなく、必ずセットです。

この往復ができるようになると、数学の理解は一気に深くなります。

交わる直線についても同じです。傾きが違えば、どこかで交わる。これは事実です。

でも家庭教師として大切にしているのは、なぜ交わるのかを言葉で説明できるかという点です。

2本の直線が交わるということは、あるxで、yの値が一致するということです。これはつまり、

という状態です。ここで、連立方程式と完全につながります。グラフでは「交点」、式では「解」同じものを、違う角度から見ているだけです。
この対応が見えた瞬間、数学が一気に「線」ではなく「面」になります。

この分野で、家庭教師として必ず立ち止まらせるポイントがあります。

それは、

という点です。問題が解けたかどうかよりも、

今、何を考えて解いた？

を必ず聞くようにしています。ここで言葉が出てこない場合、理解はまだ途中です。

平行な直線、交わる直線は、覚える性質ではありません。

を考えた結果として、そうなっているだけです。この考え方を飛ばしてしまうと、一次関数はただの暗記単元になります。
でも逆に、ここでしっかり考えられるようになると、この先の数学がとても楽になります。

家庭教師をしていて強く感じるのは、一次関数が得意になるかどうかは、この分野で決まることが多いということです。

この姿勢が身についた生徒は、確実に伸びていきます。平行か、交わるか。その判断の奥にある考え方こそが、この分野で学んでほしい本当の内容です。
数学は、やはり暗記ではありません。関係を考え、理由を探し、つなげていく教科です。
この直線たちは、そのことをとても分かりやすく教えてくれています。