最初の理解が、この先の数学を大きく左右する
比例の単元に入ると、式やグラフが一気に増えます。そして多くの人が、まずこう覚えようとしてしまいます。
y＝ax
aが傾き
原点を通る
確かに、この覚え方でもテストの一部は解けます。
でも家庭教師として強く感じるのは、ここで暗記に頼ってしまった生徒ほど、この先で苦しくなるということです。このままでは公式を丸暗記して問題を解く以上のことは出来ないレベルになってしまいます。
比例は、計算の単元ではありません。「ものの変わり方」を考える単元です。グラフ上でどのように表すことができるかを常に考えましょう！
比例とは何を表しているのか
比例とは、
xが増えたら、yもそれに合わせて増える
xが減ったら、yも同じ割合で減る
という関係を表しています。
たとえば、1個100円のものを買うとき、個数が2倍になれば値段も2倍になります。この「一緒に変わる」という関係こそが、比例です。
y＝ax という式は、その関係を短く、正確に表したものにすぎません。式そのものを覚えることが目的ではないのです。その式が何を表しているのかということを常に考えるようにしましょう。
傾きとは「変わり方の速さ」
比例で一番大事なのが、傾き a の意味です。傾きとは、xが1増えたとき、yはいくつ増えるかを表しています。つまり、
- aが大きい → yが一気に増える
- aが小さい → ゆっくり増える
- aがマイナス → xが増えるとyは減る
ということになります。
「xの前についている数」とだけ覚えてしまうと、グラフを見たときに何も考えられなくなります。グラフと式が頭の中で連動するようになれば、この分野を得意にすることができます。
原点を通る理由を考える
比例のグラフは、必ず原点を通ります。これは暗記することではありません。xが0のとき、yも0になる関係だからです。
つまり、何もないところから始まるということです。
ここを理解せずに「比例は切片が0」と覚えてしまうと、一次関数に入ったときに混乱します。
表・式・グラフは同じことを言っている
比例では、
- 表
- 式
- グラフ
がすべて登場します。家庭教師をしていると、
表はできるけど、グラフは苦手
という声をよく聞きます。
でもそれは、別々のものとして覚えているからです。本当は、同じ内容を違う形で表しているだけです。
グラフは計算結果ではなく「様子」
比例のグラフは、点を打って線を引く作業ではありません。
- どれくらいの速さで増えるのか
- どちら向きに変わるのか
その様子を、目で見える形にしたものです。傾きが急なら、グラフも急になります。ここがつながると、比例が一気に理解しやすくなります。
最初で暗記に走ると、後で必ず困る
比例は、中学校で初めて本格的に学ぶ「関数」です。ここで、
なぜこうなるのか
どう変わっているのか
を考えずに進むと、
- 一次関数
- グラフの応用
- 文章題
で必ずつまずきます。
まとめ：数学は暗記だけではいけない
比例は、公式を覚える単元ではありません。
- 一緒にどう変わるか
- 変わり方の速さはどうか
- それをどう表すか
これを考える単元です。数学は暗記だけではいけない。
比例の最初で「考えて理解する」経験をした人は、この先の数学でも必ず伸びます。
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