【解説】『式の計算の利用』等式変形の考え方

等式変形は“移項テクニック”じゃない。ゴールから逆算する思考を身につけよう

こんにちは。家庭教師として中学3年生を指導していると、式の計算の利用、とくに等式変形でつまずく生徒はとても多いです。

例えばこんな問題。 $y = 3x + 5$

を xについて解きなさい。この瞬間に手が止まる生徒が本当に多いのです。でも、ここでまず伝えたいことがあります。等式変形はテクニックではありません。「移項する」「両辺を割る」といった操作を覚えることが本質ではないのです。

等式変形とは何をしているのでしょうか？それは、同じ値を保ったまま、形を変えることです。等式は「＝」でつながっています。この「＝」は、左右が同じ重さである、という意味です。だから、

・両辺に同じ数を足す
・両辺に同じ数を引く
・両辺に同じ数をかける
・両辺を同じ数で割る

という操作はOKなのです。大切なのは、両辺に同じことをするという原則です。

$y = 3x + 5$

を xについて解く。まず考えてほしいのは、最終的に「x = ○○」の形にしたいというゴールです。今、xの横には何がありますか？

・3がかかっている
・5が足されている

つまり、

① 5を消す
② 3を消す

この順番で進めればよいのです。両辺から5を引く。 $y – 5 = 3x$

次に両辺を3で割る。 $x = \frac{y – 5}{3}$

終わりです。「移項した」と覚えるより、邪魔しているものを順番に外すと考えるほうが、本質を理解できます。

等式変形が苦手な生徒には共通点があります。それは、

✔ とりあえず符号を変えて移す
✔ 理由を考えていない

ということ。

なぜマイナスになるの？

と聞くと答えられない。これは危険です。移項で符号が変わるのは、“反対側に移動したから”ではありません。両辺から引いた結果です。ここを理解していないと、分数や文字が増えた瞬間に混乱します。

私は指導のとき、必ずこう言います。

ゴールから考えよう。

今欲しい形は何か？

・xを一人にしたいのか
・yを一人にしたいのか

そこをはっきりさせるだけで、やるべきことが見えてきます。数学が得意な子は、自然と“逆算”しています。苦手な子は、目の前の操作に必死になっています。でも本当に大切なのは、操作ではなく目的です。

例えば、 $2x – 3y = 7$

を yについて解く。ゴールは $y = ○○$

です。まず y以外を反対側へ。 $-3y = 7 – 2x$

最後に -3で割る。 $y = \frac{2x – 7}{3}$

ここでも、「なぜその順番なのか？」を考えることが大切です。順番には理由があります。

等式変形は、暗記科目ではありません。

✔ 両辺に同じことをする
✔ ゴールを決める
✔ 邪魔なものを順番に外す

この思考がすべてです。私はこれまで、等式変形で混乱していた生徒が、

あ、ゴールから考えればいいんだ

と気づいた瞬間に一気に伸びる姿を何度も見てきました。数学はテクニックの教科ではありません。思考する教科です。操作を覚えるのではなく、なぜそうするのかを考える。その積み重ねが、本当の力になります。焦らなくて大丈夫です。一つひとつ理由を考えながら進めていきましょう。

それができるようになったとき、あなたはもう“考えて解いている”のです。