【解説】『式の展開』乗法公式の考え方

式の展開は“暗記”じゃない！乗法公式の本当の意味を理解しよう

これまで多くの中学生を家庭教師として指導してきましたが、「式の展開が苦手」という声は本当によく聞きます。

特に $(x + 3)^2$ $(x + 5)(x – 2)$
のような乗法公式を使う問題でつまずく人が多いです。

でも安心してください。今日は「公式を覚える」ではなく、「どう考えるか」に焦点を当てていきます。

まず、展開とは何かを考えてみましょう。

例えば、 $(x + 3)(x + 4)$ これは「かけ算」です。

かけ算の基本ルールは何でしたか？⇒前のカッコのすべてを、後ろのカッコのすべてにかける。つまり、

この4つを足すだけです。 $x^2 + 4x + 3x + 12$ $= x^2 + 7x + 12$

これが展開の正体です。難しいことはしていません。一つ一つかけて、最後にまとめるだけです。少しはとっつきやすく感じられませんか？

では、なぜ乗法公式を習うのでしょうか？

例えば、 $(x + a)^2$

これは $(x + a)(x + a)$

という意味です。さきほどと同じようにかけると、 $x^2 + ax + ax + a^2$ $= x^2 + 2ax + a^2$

これが有名な公式： $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$

でもここで大事なのは、公式は突然生まれた魔法の言葉ではないということです。毎回かけ算していたら大変だから、「いつも同じ形になるよね」とまとめただけなのです。なので最初から公式を暗記する必要はないのです！

家庭教師をしていると、こんな間違いが本当に多いです。 $(x + 3)^2 = x^2 + 9$

これはなぜ起こるのでしょう？それは「2乗＝それぞれ2乗する」と覚えてしまっているからです。でも本当は、 $(x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$ でしたよね？

「2乗」という言葉に反応して暗記で処理すると、必ずミスします。必ず“かけ算に戻す”こと。これが苦手克服の第一歩です。

例えば、 $(x + 5)(x – 2)$ これも同じです。

$x^2 + 3x – 10$

ここで気づいてほしいのは、真ん中の項は「外と内のたし算」になるということ。

だから公式は、 $(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$

となります。でもこれも、ただの“まとめ”です。自分で計算していて気付いたり、慣れてきたタイミングで自然に使い始めるだけで問題ないのです。

私は苦手な人に指導するとき、必ずこう言います。

公式を使う前に、一回は自分でかけてみよう

面倒に感じるかもしれません。でも、

✔ なぜそうなるのか
✔ 真ん中の数はどこから来たのか

が分かると、忘れなくなります。暗記は忘れます。理解は忘れません。

数学は公式をたくさん覚える教科ではありません。公式は、誰かが考えた結果をまとめただけのものです。大切なのは、

どうしてこうなるんだろう？

と考えること。式の展開も、

・全部にかける
・同じ項をまとめる

これだけです。数学は暗記科目ではありません。思考する科目です。公式を覚える前に、必ず一度「考える時間」を作ってみてください。それができるようになったとき、式の展開はもう怖くありません。