【解説】『平方根』大小比較の考え方

平方根の大小比較は“計算力”ではなく“見抜く力”で決まる

平方根を習い始めてしばらくすると、必ず出てくる問題があります。

「√5 と √7 はどちらが大きいか。」
「3√2 と 4√3 はどちらが大きいか。」

ここでつまずく生徒はとても多いです。でも私は、家庭教師としていつもこう思います。平方根の大小比較は、計算問題ではありません。これは「思考力」が問われる分野です。今日は、その考え方を丁寧に整理していきましょう。

前の記事でお話しした通り、√a とは「2乗したら a になる正の数」でしたね。つまり、数の大きさは中身の数の大きさと深く関係しているということです。

例えば、 $\sqrt{5} と \sqrt{7}$

どちらが大きいでしょうか？ここで電卓を使おうとする生徒がいます。でも必要ありません。考えるべきことはただ一つ。5 と 7 はどちらが大きいか？当然 7 の方が大きい。平方根は「2乗の逆」です。大きい数の平方根の方が大きい。だから、 $\sqrt{7} > \sqrt{5}$

です。ここで大切なのは、「√を外して中身を見る」視点。見た目に惑わされないことです。

では次。 $3\sqrt{2} と 4\sqrt{3}$

これはどうでしょうか？ここで止まってしまう生徒が非常に多いです。でも、慌てなくていい。こう考えます。

√を消せないかな？

平方根を消す方法は何でしたか？2乗すること。つまり、 $(3\sqrt{2})^2 と (4\sqrt{3})^2$

を比べればいい。計算すると、 $(3\sqrt{2})^2 = 9 × 2 = 18$ $(4\sqrt{3})^2 = 16 × 3 = 48$

18 と 48 なら、48 の方が大きい。だから、 $4\sqrt{3} の方が大きい$

となります。

ここが大事です。平方根は正の数です。正の数どうしなら、「2乗しても大小関係は変わらない」この性質を理解しているかどうかが分かれ目です。公式ではありません。意味の理解です。

平方根の大小比較で差がつく生徒には共通点があります。

✔ とにかく近似値を出そうとする
✔ 手順を覚えようとする

逆に伸びる生徒は、

✔ どうすれば√を消せるか考える
✔ なぜその方法で比べられるか理解する

ここが決定的に違います。数学は「早く答えを出す競技」ではありません。どう考えたかがすべてです。

平方根の大小比較では、次の順で考えます。

① √だけなら中身を比較
② 係数があれば2乗して比較
③ なぜそれでよいのか意味を確認

この「なぜ？」を抜かさないこと。それが本当の力になります。

平方根の大小比較は、テクニックではありません。

・√は2乗の逆
・正の数である
・形を変えれば比較できる

これらを理解しているかどうかが問われます。私は家庭教師として、この分野を「考えられるかどうかの分かれ目」だと感じています。暗記では乗り越えられません。思考するしかありません。でも安心してください。一つひとつ意味を理解してきたあなたなら、必ず乗り越えられます。

数学は、思考する教科です。そして、思考は必ずあなたを成長させます。平方根の大小比較は、その第一歩です。一緒に、考える力を育てていきましょう！